lunes, 23 de septiembre de 2013
martes, 10 de septiembre de 2013
EPICUREISMO OTRA RESPUESTA SOBRE LA FELICIDAD
Epicureísmo (El JARDÍN)
Escuela filosófica preocupada principalmente por cuestiones éticas y fundada por Epicuro. Propone la realización de la vida buena y feliz mediante la administración inteligente de placeres y dolores, la ataraxia y vínculos de amistad entre sus correligionarios.
En el año 306 a. C. Epicuro adquirió la finca llamada “El Jardín” en las afueras de Atenas y fundó su escuela de filosofía. Formada tanto por varones como por mujeres (gran novedad en las escuelas griegas), en ella vivió aislado de la vida política y de la sociedad, practicando la amistad y la vida estética y de conocimiento.
El objetivo de esta filosofía es (como el del resto de escuelas morales helenísticas) el arte de la vida, la realización de una vida buena y feliz. Para el cumplimiento de este objetivo Epicuro consideró que la filosofía tiene una doble tarea: combatir las ideas falsas que fomentan el miedo y el sufrimiento y crear en el sabio un estado de ánimo o talante favorable en toda circunstancia y lugar. Entre aquellas ideas hay que incluir fundamentalmente el miedo al dolor, el temor a la muerte, a los dioses y al destino; la parte de la filosofía que permite resolver estas cuestiones será la Física. La segunda tarea está en manos de la Ética.
La filosofía es para Epicuro el arte de la vida feliz. Por eso la física y la lógica son solo medios para conseguir este fin. Divide la filosofía en Ética (que incluye también consideraciones psicológicas o relativas al alma), Física y Canónica (fundamentalmente lógica y teoría del conocimiento).
El objetivo de esta filosofía es (como el del resto de escuelas morales helenísticas) el arte de la vida, la realización de una vida buena y feliz. Para el cumplimiento de este objetivo Epicuro consideró que la filosofía tiene una doble tarea: combatir las ideas falsas que fomentan el miedo y el sufrimiento y crear en el sabio un estado de ánimo o talante favorable en toda circunstancia y lugar. Entre aquellas ideas hay que incluir fundamentalmente el miedo al dolor, el temor a la muerte, a los dioses y al destino; la parte de la filosofía que permite resolver estas cuestiones será la Física. La segunda tarea está en manos de la Ética.
La filosofía es para Epicuro el arte de la vida feliz. Por eso la física y la lógica son solo medios para conseguir este fin. Divide la filosofía en Ética (que incluye también consideraciones psicológicas o relativas al alma), Física y Canónica (fundamentalmente lógica y teoría del conocimiento).
Canónica: por considerarla poco útil para la vida, descuidaron esta parte de la filosofía; la teoría del conocimiento que aceptaron fue sensualista.
Física: practicaron esta disciplina sólo en la medida en que algunas de sus conclusiones pueden ser útiles en el mundo práctico. Defendieron el atomismo de Demócrito, con la única novedad de su teoría del clinamen o desviación espontánea en la trayectoria de los átomos, creencia que les permitió defender la existencia de la libertad y rechazar el determinismo atomista de Demócrito, a la vez que el punto de vista fatalista y determinista de los estoicos. Rechazaron también la astrología y otras formas de adivinación al negar el carácter divino o espiritual de los astros. La materia es eterna. El nacer y el perecer de las cosas es debido a la unión y separación de los átomos. Creyeron en la existencia de los dioses y los concibieron formados por una sustancia corporal, más fina y perfecta que la del hombre. Sin embargo, criticaron la religión popular por su claro antropomorfismo y las creencias en las predicciones. Los dioses, felices, inmortales, ajenos a las pasiones, incluso al amor y al odio, viven en paz completa e indiferente al curso del mundo y de la vida humana, y nada hay que temer de ellos.
Ética: el alma humana es mortal dado que, como todas las cosas, está compuesta de átomos, aunque formada por los más perfectos, los redondeados y lisos. Desaparece con la destrucción del cuerpo. No hay que temer a la muerte pues, en primer lugar, nada se sigue tras la desaparición del cuerpo, y, en segundo lugar, la propia experiencia de la muerte no es tal: “el más terrible de los males, la muerte, no es nada para nosotros, pues cuando nosotros existimos, la muerte no existe, y cuando la muerte existe, nosotros no existimos” (Epicuro, “Carta a Meneceo”). La Naturaleza ha puesto como objetivo de todas las acciones de los seres vivos (incluidos los hombres) la búsqueda del placer, como lo muestra el hecho de que de forma instintiva los niños y los animales tienden al placer y rehuyen el dolor. El placer y el dolor son pues los motivos fundamentales de todas las acciones de los seres vivos. El placer puro es el bien supremo, el dolor el mal supremo.
Los placeres y sufrimientos son consecuencia de la realización o impedimento de los apetitos. Distingue Epicuro tres clases de apetitos:
Los placeres y sufrimientos son consecuencia de la realización o impedimento de los apetitos. Distingue Epicuro tres clases de apetitos:
- los naturales y necesarios: comer, beber, alimentarse; son fáciles de satisfacer;
- los naturales pero no necesarios: como los eróticos; no son difíciles de dominar y no se necesitan para la felicidad;
- los que no son naturales ni necesarios; hay que rechazarlos completamente.
Tipos de placeres: dado que el hombre está formado por cuerpo y alma habrá dos tipos generales de placeres:
- placeres del cuerpo: aunque considera que son los más importantes, en el fondo su propuesta es la de renunciar a estos placeres y buscar la carencia de dolor corporal. Existen dolores del alma y dolores del cuerpo, pero el mal es el del dolor corporal pues el del alma es consecuencia directa o indirecta de los dolores del cuerpo presentes o venideros. No hay que temer el dolor corporal pues cuando es intenso e insoportable generalmente dura poco y cuando dura más tiempo es menos fuerte y más soportable. Cabe aliviar el dolor físico con el recuerdo de alegrías pasadas y en casos extremos con el suicidio.
- placeres del alma: el placer del alma es superior al placer del cuerpo: el corporal tiene vigencia en el momento presente mientras que los del alma son más duraderos; además, los placeres del alma pueden eliminar o atenuar los dolores del cuerpo.
Aunque el placer es un bien y el dolor un mal, no es inteligente elegir siempre el placer y rechazar siempre el dolor: debemos rechazar los placeres a los que les siguen sufrimientos mayores y aceptar dolores cuando se siguen de ello placeres mayores. Antes de obrar hay que pesar cuidadosamente el placer o el dolor que se seguirá de ello y establecer un balance placer-dolor. No hay que renunciar a los placeres corporales sino ordenarlos y administrarlos de cara al bienestar físico y espiritual. La razón representa un papel decisivo en lo que respecta a nuestra felicidad: nos permite alcanzar el estado de total sosiego (ataraxia), de absoluta imperturbabilidad ante todo (Epicuro lo compara con el total reposo del mar cuando ningún viento mueve su superficie) y nos da libertad ante las pasiones, los afectos y los apetitos. El sabio alcanza la vida buena y feliz gracias a esta autonomía frente al dolor y los bienes exteriores, a los amigos con los que convive y a su aislamiento respecto de lo social.
Finalmente, aunque la teoría de la virtud no tiene en esta escuela la importancia que le da el estoicismo, también encontramos en Epicuro una concepción y clasificación de las virtudes, aunque siempre subordinadas al fin último que es el placer. La virtud es necesaria para la felicidad, pero, según su filosofía, no hay que buscarla por ella misma sino porque en su realización se halla presente el placer.
Finalmente, aunque la teoría de la virtud no tiene en esta escuela la importancia que le da el estoicismo, también encontramos en Epicuro una concepción y clasificación de las virtudes, aunque siempre subordinadas al fin último que es el placer. La virtud es necesaria para la felicidad, pero, según su filosofía, no hay que buscarla por ella misma sino porque en su realización se halla presente el placer.
La filosofía epicúrea no tuvo etapas en las que destacados autores aportasen planteamientos o soluciones innovadoras. A pesar de todo fue bien acogida en el mundo romano, destacando la figura de Lucrecio (s. I a. C.). En el Renacimiento, con el resurgir del pensamiento griego, tiene clara influencia en algunos autores, particularmente en Lorenzo Valla (s. XV).
ARISTOTELES Y LA FELICIDAD
“La parte mejor del hombre es la razón o como quiera que llamemos a aquella parte de nosotros que por naturaleza parece ser la más excelente y principal, y poseer la intelección de las cosas bellas y divinas; pues la razón es o algo divino o, ciertamente, lo más divino que hay en nosotros. Por tanto, su actividad -según la capacidad que le es propia, será la felicidad completa.
…Más aún, parece que solamente esta actividad se busca por si misma pues no tiene ningún resultado fuera del conocimiento mismo, mientras que con otras actividades buscamos más o menos algo aparte de la actividad en sí.
…Pero tal vida sería superior a la condición humana: en efecto, no vivirá así en cuanto hombre, sino en cuanto reside en él algo divino; y cuanto difiere esto del compuesto, otro tanto excede esta actividad de las que se realizan conforme a las demás capacidades. Ahora bien, si la razón es algo divino en relación con el hombre, también la vida conforme a ella es divina en relación con la humana. No hay que tener, como algunos aconsejan, sentimientos humanos puesto que somos hombres, ni sentimientos mortales puesto que mortales somos, sino inmortalizarse en cuanto sea posible e intentarlo todo para vivir de acuerdo con lo más excelente que hay en nosotros mismos. Y parecerá que cada uno de nosotros consiste precisamente en esto, que lo principal es también lo mejor. Sería, por tanto, absurdo no escoger la vida propia sino la de algún otro ser. Y esto está de acuerdo con lo más excelente que hay en nosotros mismos.
Aristóteles, Ética a Nicómaco
Como podemos llegar a conocer y comprender en su mayor medida, el objetivo principal del presente texto, escrito, desarrollado, como también vemos, por el filósofo Aristóteles en su Ética a Nicómaco, es determinar en qué puede consistir la tan ansiada (y buscada) felicidad humana.
Indica, por ejemplo, que la felicidad ha de consistir en algún tipo de actividad, razón por la cual nuestro autor excluye la identificación de la felicidad con el placer, pues el placer no es una actividad sino una sensación o estado que acompaña a ciertas actividades consideradas como placenteras.
Puesto que en el hombre existen diferentes cualidades, y capacidades tanto psicológicas como físicas, ha de tratarse de la capacidad o facultad más perfecta y desarrollada, siendo una actividad conforme a ésta misma capacidad, de las que son propias del hombre.
No en vano, ha de tratarse de una actividad que se busque y consiga por sí misma, y no como fin para conseguir con ella otra cosa, quedando así excluidos los sabes de tipo práctico, dado que, tales saberes, no se buscan por sí mismos sino en función de la acción misma.
Y es que, según el texto, estas características son únicamente exclusivas del conocimiento teorético y de la contemplación, que es, como ya hemos visto en alguna que otra ocasión, la actividad de la razón.
Felicidad O eudaimonía. Es el Bien Supremo del hombre.
Puesto que la felicidad (o placer) es aquello que acompaña a la realización del fin propio de cada ser vivo, la felicidad que le corresponde al hombre es la que le sobreviene cuando realiza la actividad que le es más propia y cuando la realiza de un modo perfecto; es más propio del hombre el alma que el cuerpo por lo que la felicidad humana tendrá que ver más con la actividad del alma que con la del cuerpo; y de las actividades del alma con aquella que corresponde a la parte más típicamente humana, el alma intelectiva o racional. Como en el alma intelectiva encontramos el entendimiento o intelecto y la voluntad, y llamamos virtud a la perfección de una disposición natural, la felicidad más humana es la que corresponde a la vida teorética o de conocimiento(por ello el hombre más feliz es el filósofo, y lo es cuando su razón se dirige al conocimiento de la realidad más perfecta, Dios), y a la vida virtuosa. Finalmente, y desde un punto de vista más realista, Aristóteles también acepta que para ser feliz es necesaria una cantidad moderada de bienes exteriores y afectos humanos.
En resumen, Aristóteles hace consistir la felicidad en la adquisición de la excelencia (virtud) del carácter y de las facultades intelectivas.
En resumen, Aristóteles hace consistir la felicidad en la adquisición de la excelencia (virtud) del carácter y de las facultades intelectivas.
Virtud Moral
Las virtudes morales son las perfecciones del alma y más exactamente de la voluntad y del carácter.
Aristóteles define la virtud moral como una "disposición voluntaria adquirida (hábito) dirigida por la razón y que consiste en el término medio entre dos vicios". En esta definición encontramos las tesis éticas fundamentales de este autor:
- La cuestión que preocupaba a Platón en Menón relativa a si la virtud es un don divino, se encuentra en los hombres por naturaleza o es posible su aprendizaje, la resuelve Aristóteles indicando que la virtud se puede aprender, no depende de la naturaleza y no es una disposición innata sino del ejercicio de la libertad.
- La virtud es un hábito, es decir una disposición que se crea en nosotros para la realización de una tarea o actividad y es consecuencia del ejercicio o repetición: nos hacemos justos practicando la justicia, generosos practicando la generosidad, valientes practicando la valentía.
- La virtud moral se realiza en un sujeto a partir de lo que su razón le enseña como bueno; para la vida buena es necesaria la perfección de la razón (como ya habían señalado Sócrates y Platón) de ahí que la virtud intelectual que llamamos prudencia sea fundamental también en el mundo moral; sin embargo, Aristóteles no defiende un intelectualismo moral radical pues no cree (como parece que era el caso de Sócrates) que para la vida buena sea necesario y suficiente que la razón nos sepa mostrar la conducta justa. En este punto Aristóteles se acerca al sentido común al indicar que si la voluntad de una persona no es buena, si no ha sido disciplinada y entrenada para la realización de lo correcto, aunque la razón le enseñe lo que es preciso hacer, es improbable que dicha persona lo haga.
- La virtud consiste en saber dar con el término medio entre dos extremos, extremos que por ser tales son vicios; Aristóteles distingue entre el "término medio de la cosa" y el "término medio para nosotros"; el término medio es siempre de algo que posee magnitud, y es término medio en relación a la cosa cuando se la examina desde un punto de vista puramente matemático (así, el 6 es el término medio entre 10 y 2), dista lo mismo de cualquiera de los extremos, y es una sola e idéntica en todas las cosas; pero para establecer lo que es mucho o poco en asuntos relativos al bien de las personas es preciso atender a las circunstancias, al sujeto que realiza la acción, sus necesidades y posibilidades, y para ello introduce Aristóteles la idea del término medio respecto a nosotros: en la moralidad el término medio se predica de las pasiones, los sentimientos y las acciones pues, dice este filósofo, en el temor, el atrevimiento, la apetencia, la ira, la compasión, y en general en el placer y el dolor caben el más y el menos, y ninguno de los dos está bien. El término medio es lo que no sobra ni falta, y no es único ni igual para todos. Parece claro, por ejemplo, que respecto de ser buen estudiante lo que para unos es muchas horas de estudio para otros es poco, y establecer el tiempo adecuado depende de las circunstancias y de las personas; o que, en relación con la humildad o el descaro, no hay un término matemático que corresponda a la conducta válida en todo momento y lugar pues en unas circunstancias lo correcto será mostrarse efusivo y cordial y en otras mantener una cierta distancia y no demasiada emotividad. En resumen, y utilizando las propias palabras de Aristóteles, si se vive la pasión o el sentimiento o se realiza la acción "cuando es debido, y por aquellas cosas y respecto a aquellas personas y en vista de aquello y de la manera que se debe, entonces hay término medio y excelente, y en esto consiste la virtud".
Como ejemplos de virtud cabe señalar el valor (medio entre la temeridad y la cobardía), la templanza (medio entre la intemperancia o libertinaje y la insensibilidad); la virtud más importante es la justicia.
Arte
Saber práctico que nos faculta para la producción de objetos.
Ahora con esta palabra nos referirnos a la producción de objetos estéticos, sin embargo, en el mundo griego este término tenía un significado más general: se utilizaba para designar toda capacidad productiva, tanto la que genera objetos estéticos como la que produce objetos meramente útiles, independientemente de si poseen o no valor estético. En nuestro lenguaje encontramos un residuo de esta concepción en palabras como "artefacto", "artificial", "artesano"...
Técnica
Del griego “tékhne”, significa, como en la Edad Media “ars”, arte, habilidad para la realización de cosas.
El arte o técnica es la capacidad para hacer algo, pero a diferencia de la prudencia que se refiere al hacer en el sentido de conducirse o comportarse, la técnica nos faculta para hacer en el sentido de producir o fabricar algo (sea algo físico como una mesa o algo espiritual como un poema).
Ciencia
En griego “epistéme”. Es el saber de las relaciones necesarias existentes entre las cosas. A diferencia del Noûs, es un saber discursivo o demostrativo.
Prudencia
En griego “phrónesis” y en latín “prudentia”. La prudencia es el saber que nos enseña cómo nos debemos comportar; descubre cuáles son los medios adecuados para la realización de la felicidad y de la vida virtuosa.
Sabiduría
Del término griego “sophía”. Es a la vez el conocimiento de los primeros principios y de las consecuencias necesarias que se siguen de ellos, por lo tanto es la síntesis de Noûs y ciencia.
Aristóteles la identifica con la filosofía y la considera el saber más perfecto. La sabiduría es el Noûs y la ciencia de las cosas más nobles, de las cosas supremas y, en último término, de Dios.TIPOS DE RAZONAMIENTO Y EJERCICIOS
TIPOS DE RAZONAMIENTO
El razonamiento deductivo
parte de categorías generales para hacer afirmaciones sobre casos particulares.
Va de lo general a lo particular. Es una forma de razonamiento donde se infiere
una conclusión a partir de una o varias premisas. El filósofo griego Aristóteles,
con el fin de reflejar el pensamiento racional, fue el primero en establecer
los principios formales del razonamiento deductivo.
Un razonamiento deductivo se basa únicamente en la información contenida
en las premisas.
El razonamiento inductivo,
por otro lado, es aquel proceso en el que se razona partiendo de lo particular
para llegar a lo general, justo lo contrario de la deducción. La base de la
inducción es la suposición de que algo es cierto en algunas ocasiones, lambien
lo será en situaciones similares aunque no se haya observado. Una de las formas
más simples de inducción ocurre cuando a través de una serie de encuestas, de
las que se obtienen respuestas dadas por una muestra, es decir, de una parte de
la población total, nos permitimos extraer conclusiones acerca de toda la
población.
El razonamiento inductivo se basa en información adicional a la contenida
en las premisas.
El razonamiento por
analogía o analógico, Es un tipo de razonamiento no deductivo
que consiste en obtener una conclusión a partir de premisas en las que
se establece una analogía o semejanza entre elementos o
conjuntos de elementos distintos.
El razonamiento por analogía parte de juicios anteriores ya conocidos a
otros que se pretende conocer, manteniendo la misma particularidad.
Ejemplos de razonamiento deductivo
Premisa mayor: Los seres humanos tienen dos manos y dos pies
Premisa menor: John es ser humano
Conclusión: John Tiene dos manos y dos pies
Premisa menor: John es ser humano
Conclusión: John Tiene dos manos y dos pies
Premisa mayor: Todos los miércoles John sale 10 minutos antes de
su trabajo
Premisa menor: Hoy es miércoles
Conclusión: Hoy John saldrá 10 minutos antes de su trabajo
Premisa menor: Hoy es miércoles
Conclusión: Hoy John saldrá 10 minutos antes de su trabajo
Premisa mayor: Toda planta nace, se reproduce y muere
Premisa menor: Toda rosa es planta
Conclusión: Toda rosa nace, se reproduce y muere
Premisa menor: Toda rosa es planta
Conclusión: Toda rosa nace, se reproduce y muere
Premisa mayor: Todos los hijos de John y Jane tienen ojos color
marrón
Premisa menor: John y Jane esperan un hijo
Conclusión: El hijo que esperan John y Jane tiene los ojos color marrón
Premisa menor: John y Jane esperan un hijo
Conclusión: El hijo que esperan John y Jane tiene los ojos color marrón
Premisa mayor: Las galletas tardan 45 minutos en hornearse
Premisa menor: Son las 3:00 pm y Jane mete las galletas al horno
Conclusión: Las galletas estarán listas a las 3:45
Premisa menor: Son las 3:00 pm y Jane mete las galletas al horno
Conclusión: Las galletas estarán listas a las 3:45
Ejemplos de razonamiento inductivo
Premisa 1: Cuando Juan toca la llama de un encendedor se quema
Premisa 2: Cuando Juan toca una estufa encendida se quema
Premisa 3: Cuando Juan toca la jarra de la cafetera caliente se quema
Conclusión: Si tocas un objeto caliente te quemas
Premisa 2: Cuando Juan toca una estufa encendida se quema
Premisa 3: Cuando Juan toca la jarra de la cafetera caliente se quema
Conclusión: Si tocas un objeto caliente te quemas
Premisa 1: Veo un cuervo de color negro
Premisa 2: Veo un segundo cuervo de color negro
Premisa 3: Veo un tercer cuervo de color negro
Conclusión: Todos los cuervos son negros.
Premisa 2: Veo un segundo cuervo de color negro
Premisa 3: Veo un tercer cuervo de color negro
Conclusión: Todos los cuervos son negros.
Premisa 1: John sale al frío sin abrigarse y se enferma
Premisa 2: Jane sale al frío sin abrigarse y se enferma
Premisa 3: Eloísa sale al frío sin abrigarse y se enferma
Conclusión: Si sales al frío sin abrigarte te enfermas
Premisa 2: Jane sale al frío sin abrigarse y se enferma
Premisa 3: Eloísa sale al frío sin abrigarse y se enferma
Conclusión: Si sales al frío sin abrigarte te enfermas
Premisa 1: John bebe un litro de whiskey y se embriaga
Premisa 2: John bebe un litro de ron y se embriaga
Premisa 3: John bebe un litro de vodka y se embriaga
Conclusión: El exceso de alcohol provoca embriaguez
Premisa 2: John bebe un litro de ron y se embriaga
Premisa 3: John bebe un litro de vodka y se embriaga
Conclusión: El exceso de alcohol provoca embriaguez
Premisa 1: Ciudadano X tiene 25 años, vive en la región A y
siempre vota por M
Premisa 2: Ciudadano D tiene 23 años, vive en la región A y siempre vota por M
Premisa 3: Ciudadano C tiene 20 años, vive en la región A y siempre vota por M
Conclusión: Los ciudadanos de entre 20 y 25 años que viven en la región A siempre votan por M
Premisa 2: Ciudadano D tiene 23 años, vive en la región A y siempre vota por M
Premisa 3: Ciudadano C tiene 20 años, vive en la región A y siempre vota por M
Conclusión: Los ciudadanos de entre 20 y 25 años que viven en la región A siempre votan por M
Ejemplos de razonamiento por
analogía
Premisa 1: La Tierra está poblada por seres vivos
Premisa 2: Marte es análogo a la Tierra (ya que es un
planeta, está en el sistema solar, etc.)
Conclusión: Entonces, Marte debe estar poblado por
seres vivos
Premisa 1: Las flores del girasol cambian su posición
respecto a la del sol
Premisa 1: Las flores del rosal son análogas a
las flores de los girasoles ( tienen pistilo, corola, pétalos, etc.)
Conclusión: Entonces las rosas cambian su posición respecto
a la del sol
Ejercicios
Completa los razonamientos deductivos:
|
Recuerda que...
En el razonamiento deductivo partes de afirmaciones generales para hacer
afirmaciones sobre casos particulares.
|
1.
Premisa 1: Todos las
bacterias provocan enfermedades
Premisa 2: Escherichia
coli es una
Conclusión: Escherichia
coli
2.
Premisa 1: Todos los
hombres son mortales
Premisa 2: Platón es
un
Conclusión: Platón
3.
Premisa 1: Todos los
metales conducen calor
Premisa 2: El cobre
es un
Conclusión: El cobre
Ejercicio de razonamiento
inductivo y analógico, determinar cuál es cual
* Jessica y Alan tienen tres hijos: Sofía,
Andrea y Kevin:
* Sofía es rubia,
* Andrea es rubia,
* Kevin es rubio,
* Por lo tanto todos los hijos de Alan y Jessica son rubios.
* El perro es mamifero y cuadrupedo
* El gato es mamifero y cuadrupedo
* Por lo tanto los mamiferos son cuadrupedos
* Manuel es humanoy tiene ojos
* Miguel es humano y tiene ojos
* Rosa es humana y tiene ojos
* Por lo tanto los humanos tiene ojos
* Juan comió muchas paletas y le hizo daño
* Mariana comió muchas paletas y le hizo daño
* Por lo tanto si comes mucas paletas te hace daño
* El cisne 1 es blanco
* El cisne 2 es blanco
* El cisne 3 es blanco
* El cisne 4 es blanco
* Todos los cisnes son blancos
* Sofía es rubia,
* Andrea es rubia,
* Kevin es rubio,
* Por lo tanto todos los hijos de Alan y Jessica son rubios.
* El perro es mamifero y cuadrupedo
* El gato es mamifero y cuadrupedo
* Por lo tanto los mamiferos son cuadrupedos
* Manuel es humanoy tiene ojos
* Miguel es humano y tiene ojos
* Rosa es humana y tiene ojos
* Por lo tanto los humanos tiene ojos
* Juan comió muchas paletas y le hizo daño
* Mariana comió muchas paletas y le hizo daño
* Por lo tanto si comes mucas paletas te hace daño
* El cisne 1 es blanco
* El cisne 2 es blanco
* El cisne 3 es blanco
* El cisne 4 es blanco
* Todos los cisnes son blancos
*José hace tres meses compró un
libro del autor A, y le resultó bastante bueno en cuanto a contenido.*Hoy, José
comprará un libro del mismo autor, *porque es posible que también sea bueno en
contenido.
*Antonio compró cuatro pares de
medias de la misma marca.
*Ha usado tres pares de ellos, todos
han dado mal resultado.
*Es probable que el cuarto par dé
mal resultado.
lunes, 2 de septiembre de 2013
LÓGICA PROPOSICIONAL PARA 5TO CIENTIFICO ATLÁNTIDA
Lógica proposicional
1. Introducción
1.1. LEGUAJE NATURAL, LEGUAJE ARTIFICIAL Y LENGUAJE FORMAL
Los lenguajes naturales, es decir, las distintas lenguas que habitualmente utilizan los miembros de distintas comunidades humanas para comunicarse, poseen, como todo lenguaje, un conjunto de símbolos (léxico) y una serie de reglas para manejarlos (sintaxis) y operar con ellos (formación, concatenación y transformación de oraciones). Todos los lenguajes naturales son el producto de muchos siglos de evolución y son tan infinitamente ricos en matices que los mismos símbolos o expresiones pueden significar cosas diferentes en función factores tales como el contexto, la entonación, la situación, etc. Estas ambigüedades, dobles sentidos, vaguedades, relajación en el uso de las reglas… nos permiten construir paradojas, chistes, metáforas, poemas, etc.
Los lenguajes naturales poseen, sin duda, una gran riqueza y capacidad expresiva que resulta deseable, pero en determinados momentos es preferible un lenguaje menos ambiguo y, por tanto, más preciso y operativo. Para el uso científico, por ejemplo, los lenguajes naturales presentan ciertas deficiencias: desde el punto de vista del léxico, falta de univocidad; desde el punto de vista de la sintaxis, relajación en las reglas; y desde el punto de vista operacional, dificultad para realizar cualquier cálculo. Por este motivo, las distintas ciencias construyen lenguajes artificiales, asignando a sus símbolos significados precisos y unívocos, y estableciendo con precisión reglas operativas eficaces que permitan construir razonamientos fiables. Se trata de ganar en exactitud y seguridad a costa de perder en expresividad. La Física y la Química, por ejemplo, usan este tipo de lenguaje de forma que una expresión tan metafórica como «el tiempo es oro», al traducirla a tal lenguaje –«t = Au»– pierde todo su sentido. Por eso, tales lenguajes sólo se emplean en campos muy restringidos.
Incluso puede haber ocasiones en las que el significado de los símbolos no nos interese, sino más bien las relaciones que podamos establecer entre dichos símbolos, como por ejemplo ocurre en las Matemáticas y la Lógica. Decimos entonces que estamos ante un lenguaje formal, porque sólo interesa la forma, no el contenido o significado empírico de sus símbolos. Lo único que cuenta es que la utilización de los símbolos, las fórmulas y las operaciones se ajuste a las reglas establecidas.
1.2. LAS PROPOSICIONES Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Todos los lenguajes están construidos a partir de combinaciones de signos que reciben el nombre de expresiones. Pero no cualquier combinación es válida, sino que dicha combinación debe realizarse de acuerdo con una serie de reglas gramaticales (morfológicas, sintácticas, etc.). Cuando una expresión del lenguaje natural es gramaticalmente correcta y tiene un sentido completo recibe el nombre de oración. Hay muchos tipos de oraciones en los lenguajes naturales: enunciativas, desiderativas, de
1
posibilidad, dubitativas, exhortativas, interrogativas, exclamativas, etc. Aquí nos interesan las oraciones enunciativas, también llamadas enunciados o proposiciones, que son aquellas oraciones que afirman o niegan algo y que, por tanto, pueden ser verdaderas o falsas. La Lógica proposicional (denominada también Lógica de enunciados) se ocupa de las proposiciones.
Tanto lógica como gramaticalmente, las oraciones pueden ser sometidas a análisis. Tomemos, por ejemplo, la proposición «Las moscas son insectos». Gramaticalmente podemos analizar esta oración comenzando por distinguir un sujeto y un predicado. Lógicamente podemos analizarla señalando que en ella se establece una relación entre dos clases o conjuntos, en cuyo caso la interpretaremos como afirmación de que los miembros de la clase de las moscas son también miembros de la clase de los insectos: así se hace en la Lógica de clases. Pero en la Lógica proposicional las proposiciones no se analizan, sino que se toman como un todo, en bloque. Las proposiciones son los elementos últimos sobre los cuales opera esta rama de la Lógica.
Las proposiciones «Las moscas son insectos» y «La Tierra es un planeta» son proposiciones simples. En cambio, «Las moscas son insectos y la Tierra es un planeta» y «Si las moscas son insectos, entonces la Tierra es un planeta» son proposiciones complejas.
Una proposición simple es aquella que no puede descomponerse en partes que, a su vez, sean proposiciones. Las proposiciones simples se denominan también atómicas.
Una proposición compleja –también denominada molecular– es aquella que puede descomponerse en proposiciones simples. Las proposiciones complejas se componen, pues, a partir de proposiciones simples por medio de partículas como «y», «si… entonces…», etc., que sirven para conectar o unir proposiciones entre sí.
1.3. EL RAZONAMIENTO. VERDAD Y VALIDEZ
Un razonamiento es una serie de enunciados en la cual, a partir de unos enunciados iniciales (premisas) y siguiendo unas reglas determinadas, se infiere una conclusión. Se dice que el razonamiento es válido si la conclusión se deduce necesariamente de las premisas. En ese caso, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también será necesariamente verdadera. Un razonamiento, por tanto, es o no válido en virtud de su forma o estructura, no en virtud de la verdad o falsedad de las premisas. Los enunciados pueden ser verdaderos o falsos, pero los razonamientos sólo pueden ser válidos o no válidos, correctos o incorrectos.
Sin embargo, podríamos decir que en el éxito de un razonamiento influyen dos factores: la verdad de las premisas y la corrección o validez en la aplicación de las reglas usadas para inferir la conclusión.
RAZONAMIENTO VÁLIDO
CON PREMISAS VERDADERAS
RAZONAMIENTO NO VÁLIDO
CON PREMISAS VERDADERAS
RAZONAMIENTO VÁLIDO
CON PREMISAS FALSAS
P1: Todos los perros son mamíferos.
P2: Todos los caniches son perros.
C: Todos los caniches son mamíferos.
P1: Todos los primates son mamíferos.
P2: Todos los gatos son mamíferos.
C: Todos los gatos son primates.
P1: Todos los perros son reptiles.
P2: Todos los gatos son perros.
C: Todos los gatos son reptiles.
2
La Lógica sólo se ocupa de la validez de los razonamientos deductivos, pero no de la verdad o falsedad de sus enunciados. Por ello decimos que la Lógica es una ciencia formal.
1.4. TIPOS DE LÓGICA
Hemos dicho que una proposición o enunciado es una oración (expresión con sentido completo y gramaticalmente correcta) que afirma o niega algo, es decir, que puede ser verdadera o falsa. Sólo son enunciados aquellas expresiones que poseen ambas propiedades:
SON PROPOSICIONES
NO SON PROPOSICIONES
(Ni V ni F)
NO SON PROPOSICIONES
(Sin significado)
Colón descubrió América. (V)
Un mes tiene 237 días. (F)
Pedro tiene hambre. (¿?)
¡Ojalá llueva!
¿Qué hora es?
Cierra la puerta.
¡Hora ojalá!
Pedro y llueva.
237 un tiene día.
La verdad o falsedad de las proposiciones atómicas depende de su correspondencia con la realidad, es decir, depende de la experiencia. La verdad o falsedad de las proposiciones moleculares depende tanto del valor veritativo de sus proposiciones atómicas como del tipo de relación que las une. Por ejemplo, la verdad de la proposición «Voy al cine» sólo depende de si voy efectivamente al cine o no, y la verdad de la proposición «Me llama mi novia» depende de si mi novia me llama realmente o no. Pero si digo «Si me llama mi novia entonces voy al cine», o digo «O me llama mi novia o voy al cine», ambas proposiciones pueden ser verdaderas aunque no vaya al cine o no me llame realmente mi novia, porque la relación que une ambas proposiciones atómicas no exige que ambas sean verdaderas a la vez. Sólo la proposición «Me llama mi novia y voy al cine» exige, para ser verdadera, que las proposiciones atómicas que la componen sean verdaderas.
Las distintas partes de la Lógica dependen del tipo de análisis que hacen de las proposiciones, de forma que tenemos:
LÓGICA PROPOSICIONAL O DE ENUNCIADOS: Como ya sabemos, toma las proposiciones como un bloque, sin descomponerlas en sujeto y predicado, teniendo como elementos más simples las proposiciones atómicas, y ocupándose de las relaciones que se pueden establecer entre ellas.
LÓGICA DE PREDICADOS: A veces no es suficiente tomar las proposiciones como un bloque y hay que descomponerlas en sujeto y predicado. Esto hace esta parte de la lógica, que trata los predicados desde el punto de vista intensional, es decir, como atribución de una propiedad a un sujeto.
LÓGICA DE CLASES: Adopta el punto de vista de la extensión (conjunto de individuos a los que el predicado se aplica), interpretando los enunciados como operaciones con clases de conjuntos.
LÓGICA DE RELACIONES: Estudia aquellos predicados que no se atribuyen a un individuo absolutamente sino en comparación con otro.
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2. Los elementos de la Lógica proposicional
Todo lenguaje consta de una serie de símbolos, un conjunto de reglas de formación que determinan cómo pueden combinarse estos símbolos para construir expresiones gramaticalmente bien formadas y, por último, un conjunto de reglas de transformación, que indican cómo podemos pasar correctamente de unas expresiones bien formadas a otras. En un juego como el ajedrez, por ejemplo, los símbolos serían las 32 piezas y el tablero (un tenedor no es una pieza de ajedrez sino de cubertería); las reglas de formación determinarían el lugar que debe ocupar cada pieza en el tablero (un alfil colocado en la estantería no cumple las reglas de formación); por último, las reglas de transformación indicarían los movimientos que cada pieza puede realizar (un caballo arrojado a la pared o movido en diagonal no cumple dichas reglas). También en el lenguaje natural tenemos un conjunto de símbolos (palabras, letras, signos de puntuación, etc.), una serie de reglas de formación que permiten construir expresiones con sentido u oraciones, y unas reglas de transformación que permiten pasar de unas expresiones a otras (sabemos, por ejemplo, que la proposición «El gato se comió al ratón» puede sustituirse por «El ratón fue comido por el gato»).
Los elementos del cálculo proposicional son los siguientes:
− SÍMBOLOS:
Variables proposicionales o letras enunciativas: Para simbolizar las proposiciones atómicas se recurre a las letras minúsculas del alfabeto a partir de la m o de la p: m, n, o, p, q, r, s, etc. Cada letra simboliza una proposición atómica cualquiera. Cuando se hace un uso metalingüístico (por ejemplo, al expresar las reglas lógicas) se usan las primeras letras del abecedario en mayúsculas: A, B, C, etc.
Constantes lógicas, operadores o conectores: Son símbolos que denotan relaciones y operaciones lógicas. Sirven para establecer conexiones entre los enunciados, por lo que se denominan conectores o conectivas. En las lenguas naturales esta función conectiva es desempeñada por las conjunciones. Puesto que el tipo de relación que cada partícula conectiva establece es fijo, los símbolos correspondientes son denominados constantes lógicas. Las constantes lógicas más usuales en la Lógica proposicional son las siguientes:
El negador (¬): Es la única constante que se aplica a un solo enunciado cambiándole su valor veritativo, y equivale a la negación del lenguaje natural. Así, si A es verdadera, ¬A es falsa, y viceversa. Se lee: no, no es el caso que.
El conjuntor (Λ): Corresponde a la conjunción «y» del lenguaje natural y lo que hace es dar lugar a una proposición molecular que es verdadera solamente cuando son verdaderas las proposiciones atómicas que la componen.
El disyuntor (V): Corresponde a la conjunción «o» del lenguaje natural y lo que hace es dar lugar a una proposición molecular que es verdadera cuando una de las proposiciones atómicas que la componen o ambas son verdaderas.
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El implicador o condicional (→): Corresponde a la expresión «si... entonces» del lenguaje natural y lo que hace es afirmar que si el primero de los enunciados (antecedente) es verdadero, el segundo (consecuente) necesariamente también lo es (es decir, lo que no puede darse es el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso). La fórmula a que da lugar será verdadera siempre que no ocurra que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.
El coimplicador o bicondicional (↔): Corresponde a la expresión «si, y sólo si... entonces» del lenguaje natural y lo que hace es afirmar que si el primero de los enunciados es verdadero, el segundo también lo es, y que si el primero de los enunciados es falso, el segundo también lo es. La fórmula a que da lugar sólo será verdadera siempre que las proposiciones que la componen tengan el mismo valor de verdad (ambas verdaderas, ambas falsas).
Símbolos auxiliares: Paréntesis, corchetes, llaves, etc., para determinar el alcance de los conectores. Si no hay paréntesis, hay una jerarquía para determinar el signo dominante (1º↔, 2º →, 3º Λ ó V). Ejemplo: p → r V q es lo mismo que p → (r V q).
− REGLAS DE FORMACIÓN:
Son todas las reglas que establecen cómo deben combinarse correctamente los símbolos de este lenguaje formal. A toda expresión formada correctamente según estas reglas se le llama fórmula. Las reglas de formación del cálculo proposicional son las siguientes:
Una letra enunciativa es una fórmula bien formada. Ejemplo: p, q, r, s, t, etc.
Si ‘A’ es una fórmula, ‘¬A’ también lo es. Ejemplo: ¬p, ¬q, ¬r, etc.
Si ‘A’ y ‘B’ son fórmulas, entonces ‘A V B’, ‘A Λ B’, ‘A → B’ y ‘A ↔B’ también lo son. Ejemplo: p Λ q, ¬p V ¬q, ¬p→ (r Λ s), (¬p → q) ↔ (p V q), etc.
No hay más fórmulas bien formadas si no son según las reglas anteriores.
− REGLAS DE TRANSFORMACIÓN:
Llamadas también reglas de inferencia porque son las que determinan la forma en que podemos pasar correctamente de unas fórmulas bien formadas a otras equivalentes, para así poder construir razonamientos válidos. Son, por lo tanto, necesarias para poder realizar deducciones lógicas. Por el momento dejaremos estas reglas que ya trataremos en la parte dedicada a la deducción.
3. Semántica de la Lógica proposicional
3.1. FORMALIZACIÓN O SIMBOLIZACIÓN
La formalización de un lenguaje es una operación consistente en traducir las expresiones de ese lenguaje por símbolos, en nuestro caso por símbolos del cálculo
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proposicional, de manera que los enunciados del lenguaje natural se transformen en fórmulas con las que resulte más fácil operar para comprobar la validez de los razonamientos. Puesto que ya conocemos los símbolos de la Lógica proposicional, veamos a continuación su correspondencia con el lenguaje natural.
Las variables proposicionales (m, n, p, q, r, s, t,…) se usan para simbolizar las proposiciones simples del lenguaje natural. Ejemplos:
Pedro es un buen estudiante = p
Llueve = q
Debajo de la bóveda se ve un retablo con un lienzo ennegrecido = r
El negador (¬) se usa para simbolizar expresiones del lenguaje natural tales como “no”, “no es el caso que”, “es falso que”, “no es posible que“, “es imposible que”,… Cuando afecta a una proposición simple se pone simplemente delante de ella, pero cuando afecta a una proposición compleja, ésta debe ir entre paréntesis y el negador delante del mismo. Además, existen ocasiones en las que un negador puede afectar a otro negador. Ejemplos:
Pedro no es un buen estudiante = ¬ p
No es verdad que estudie todos los días = ¬ q
Es imposible que mañana no vaya a clase = ¬¬ r
Es falso que si el alumno se copia sea imposible que apruebe = ¬ (s → ¬t)
El conjuntor (Λ) se usa para simbolizar la conjunción “y” del lenguaje natural y lo que hace es afirmar que los dos enunciados que conecta son verdaderos. Por eso, hay además otras conjunciones del lenguaje natural (“pero”, “aunque”, “también”, “además”, “ni”, etc.) que poseen su mismo valor lógico, por lo que también pueden sustituirse por el mismo símbolo. Ejemplos:
Juan camina y Pedro descansa = p Λ q
Los tejados son de pizarra y las puertas de madera = r Λ s
Me van bien los estudios pero no apruebo = t Λ ¬ u
Aunque me rechaces, te querré siempre y no te olvidaré = m Λ (n Λ ¬ p)
No es cierto que me vaya a marchar y no quiera verte ni acordarme de ti = ¬ [q Λ (¬ r Λ ¬ s)]
El disyuntor (V) se usa para simbolizar la conjunción “o” del lenguaje natural (y otras equivalentes como “bien”, “sea… sea”, “ya… ya”, etc.) y lo que hace es afirmar que al menos uno de los dos enunciados que conecta es verdadero. Ejemplos:
Se solicita abogado o contable = p V q
Me entero de la situación política leyendo “El País” o “La Vanguardia” = p V q
Hay que demostrar la proposición bien por el método directo bien por el indirecto = p V q
No es cierto que vaya a salir el jueves o el viernes = ¬ (p V q)
Ya sea porque no tuvieron suerte, ya sea por falta de ambición, perdieron el partido = (¬ p V ¬ q) Λ r
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Normalmente la disyunción tiene un sentido inclusivo (al menos uno de los dos enunciados que conecta es verdadero, pero pueden serlo los dos), pero en algunas ocasiones se emplea la disyunción exclusiva, que significa que sólo uno de los dos enunciados es verdadero (o uno o el otro, pero no ambos). Para expresar este tipo de relación entre las proposiciones se puede usar el coimplicador negado.
El implicador (→) se usa para simbolizar la expresión “si… entonces” del lenguaje natural (y otras equivalentes como “por lo tanto”, “en consecuencia”, “luego”, etc.) y lo que hace es afirmar que en el caso de que el primero de los enunciados (antecedente) sea verdadero, el segundo (consecuente) necesariamente también lo será (no puede darse el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso). Al formalizar los enunciados es necesario descubrir la relación lógica que existe entre ellos y no fiarse siempre de las apariencias. Por ejemplo, la proposición «Estudia y aprobarás» es equivalente a «Si estudias entonces aprobarás» por lo que hay que formalizarla con el implicador, no con el conjuntor. Además no tiene por qué haber una conexión real entre ambas proposiciones, sólo que se cumpla esta relación lógica. Ejemplos:
Si Colón descubrió América entonces los gusanos son invertebrados = p → q
Cuando hay abundancia, nadie muere de hambre = p → ¬q
Con tal de que me digas las preguntas me prepararé las respuestas y no suspenderé = p → (q Λ ¬ r)
Eres licenciado de modo que es imposible que no sepas leer ni escribir = p → ¬ (¬ r Λ ¬ q)
El coimplicador (↔) corresponde a la expresión “si y sólo si… entonces” del lenguaje natural (y a otras equivalentes como “... es igual a...”, “… es lo mismo que...”, “... equivale a...”, etc.) y lo que hace es afirmar que ambos enunciados tienen el mismo valor veritativo: si el primero es verdadero, el segundo también lo es, y si es falso, también lo es el segundo. Ejemplos:
Sólo estudiaré si tú lo haces también = p ↔ q
Sólo si no has tenido una experiencia traumática puedes ser feliz = ¬ p ↔ q
Si no es verdad lo que dices, entonces únicamente en el caso de que te retractes te volveré a dirigir la palabra = ¬ p → (q ↔ r)
Proposiciones simples lingüísticamente diferentes pero que vengan a expresar lo mismo han de ser formalizadas mediante la misma variable proposicional.
Es importante identificar todas las negaciones que puedan aparecer en el texto a formalizar y utilizar convenientemente el negador. Conviene tener presente que las negaciones no siempre aparecen al comienzo de un enunciado sino intercaladas en el mismo (p.e., «Hoy no hace calor» = ¬ p). También conviene tener presente que determinadas ocurrencias de la doble negación en español expresan en realidad una simple negación (p.e., «No quiero ni pensar en ello» = ¬ p). Por último, es importante identificar cuándo un enunciado en forma afirmativa expresa en realidad la negación de otro enunciado que aparece en el mismo texto a formalizar (p.e., «Si Juan aprueba el examen, se irá a las Bahamas; pero si suspende, se quedará en casa deprimido» = (p → q) Λ (¬ p → r)).
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3.2. LAS TABLAS DE VERDAD
Una vez que hemos formalizado una proposición resulta mucho más fácil operar con ella. Lo primero que podemos hacer con ella es averiguar en qué casos es verdadera y en qué casos no. La Semántica es aquella parte del lenguaje que se ocupa de la relación entre los símbolos y su significado, pero ya dijimos que a la Lógica no le interesa el significado empírico de las proposiciones; lo único que le interesa de su significado es su valor veritativo: su verdad o falsedad. Como la verdad de las proposiciones complejas depende del valor veritativo de sus proposiciones simples (variables) y del tipo de relación que las une (constantes o conectores), la Lógica usa un método para demostrar semánticamente una fórmula cualquiera: el método de las tablas de verdad. Este método consiste en calcular en qué casos una proposición compleja es verdadera y en qué casos es falsa.
Interpretar un símbolo consiste en darle un significado. La Lógica proposicional, como la mayoría de los tipos de lógica, es una lógica bivalente, lo cual quiere decir que cada proposición simple o variable sólo puede tener dos interpretaciones o significados: verdadero (1) o falso (0). Un caso es una posible combinación de tales valores en sus variables, de forma que mientras más variables tenga una fórmula más casos posibles habrá.
Así, en una fórmula que contenga una única variable (p.e., p → p) sólo hay dos casos posibles: que “p” sea verdadera o que sea falsa, mientras que en una que contenga dos variables (p.e., p→q) hay cuatro casos posibles: 1) que ambas sean verdaderas; 2) que ambas sean falsas; 3) que “p” sea verdadera y “q” falsa; y 4) que “p” sea falsa y “q” verdadera. En una fórmula de tres variables hay ocho posibles casos; en una de cuatro, dieciséis, y así, sucesivamente. Hay una fórmula para hallar el número de casos (x) de una proposición molecular: x = 2n, donde n es el número de variables de la fórmula.
Cada uno de los conectores o constantes lógicas se define semánticamente mediante una tabla de verdad que muestra sus posibles valores veritativos según los casos. Estas son las tablas de verdad de los conectores y del negador:
Aplicando este método de las tablas de verdad podemos comprobar que existen tres tipos de fórmulas en función de su resultado:
CONSISTENCIA: Se denomina fórmula consistente o indeterminada cuando su tabla de verdad presenta una combinación de valores de verdad (1) y de falsedad (0). Esto significa que su valor veritativo depende de cada uno de los posibles casos, por lo que depende de la experiencia, ya que en unos casos puede ser verdadera y en otros casos falsa.
CONTRADICCIÓN: Una fórmula es una contradicción cuando en todos los casos su valor veritativo es “0”, es decir, es siempre falsa, independientemente de los valores de verdad de las variables que la constituyen, por lo que es universalmente falsa.
TAUTOLOGÍA: Una fórmula es tautológica cuando su valor veritativo es siempre “1”, es decir, cuando es verdadera en todos los casos. Estas fórmulas son verdaderas a priori, es decir, independientemente de la experiencia, universalmente válidas. Las fórmulas tautológicas son verdades lógicas, no empíricas. Éstas son las que más interesan a la
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Lógica pues, gracias a ellas, podemos averiguar si una conclusión se deriva o no a partir de unas determinadas premisas. Basta, para ello, con construir una fórmula uniendo las premisas mediante conjuntores y conectándolas a la conclusión por medio de un implicador. A continuación hacemos la tabla de verdad correspondiente y si el resultado es una tautología eso significa que queda demostrada semánticamente la validez del razonamiento. Todas las leyes lógicas que veremos a continuación pueden demostrarse por este sistema.
4. Sintaxis de la Lógica proposicional: la deducción formal
Existe otro método más operativo para demostrar la validez de un razonamiento: la deducción formal. Consiste en un procedimiento de derivación para probar la validez de una conclusión, partiendo de premisas iniciales y deduciendo nuevas premisas intermedias mediante reglas de inferencia, cuyo uso se justifica. El procedimiento demostrativo en conjunto tiene cierta semejanza con la manera «natural» de deducir. Esas reglas de inferencia son verdades lógicas, es decir, que si se presentan como fórmula condicional y se realizan sus respectivas tablas de verdad, se comprobará que son tautologías.
En una deducción encontraremos unos supuestos y unas reglas de inferencia. Los supuestos pueden ser premisas (supuestos previos) o bien supuestos provisionales o subsidiarios, que sirven momentáneamente de apoyo en el curso de la deducción pero de los cuales hay que desembarazarse antes del final de la misma (llamándose esto descarga o cancelación de supuestos).
La deducción formal es una secuencia finita de fórmulas tales que cada una de ellas es un supuesto previo, un supuesto provisional o una fórmula que se deriva lógicamente de otra u otras anteriores por inferencia inmediata (por la aplicación de una sola regla de inferencia).
La notación simbólica de una derivación es la siguiente: la deducción se indica o anota poniendo en hilera las premisas separadas por comas y a continuación de las mismas el deductor ├ seguido de la conclusión: p → ¬ q Λ r, p → s, s Λ r → ¬ ¬ m, ¬ ¬ p ├ m.
La deducción se realiza así: se colocan en columna las premisas y las fórmulas inferidas de la siguiente manera:
Se numeran en la izquierda a partir del número 1.
Las premisas llevan un guión a la izquierda del número.
Los supuestos provisionales se señalan con un ángulo recto (┌) antes del número, que se unirá con una línea recta a otro ángulo (└) correspondiente a la línea que los cancela.
Se pone a la derecha un comentario: las siglas de la regla por la que se infiere la línea y los números de las líneas a las que se ha aplicado la regla.
Veamos a continuación las llamadas reglas básicas de inferencia. Gentzen seleccionó estas ocho porque sirven para introducir o eliminar cada uno de los cuatro conectores básicos, y porque con ellas se podrían efectuar todas las transformaciones de fórmulas posibles en el cálculo proposicional.
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ELIMINACIÓN DEL IMPLICADOR (EI) O «MODUS PONENS» (MP):
A → B A . B
Se usan letras mayúsculas para indicar que dichas letras pueden ser sustituidas por cualquier fórmula. Se ponen las premisas de la regla en columnas seguidas de una línea horizontal, bajo la cual se escribe la conclusión. Esto quiere decir que si en el curso de la deducción se dan fórmulas en la forma de las premisas de la regla entonces puede escribirse una línea con la fórmula de la conclusión.
INTRODUCCIÓN DEL IMPLICADOR (II) O TEOREMA DE LA DEDUCCIÓN (TD):
A . . B . A → B
Se basa en que si de una premisa ‘A’ y cualquier conjunto de fórmulas, que puede ser vacío, podemos deducir una conclusión ‘B’ entonces podemos decir que la premisa implica la conclusión.
ELIMINACIÓN DEL CONJUNTOR (EC) O SIMPLIFICACIÓN (SIMPL.):
A Λ B A A Λ B B
Se basa en la idea de que si una conjunción de proposiciones es verdadera también lo son cada uno de sus miembros.
INTRODUCCIÓN DEL CONJUNTOR (IC) O PRODUCTO LÓGICO (PROD.):
A B . A Λ B
Se basa en la intuición de que si podemos afirmar dos verdades por separado también podemos afirmar la verdad de su unión.
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ELIMINACIÓN DEL DISYUNTOR (ED) O PRUEBA POR CASOS (CAS.):
A V B A . . C B . . C . C
Se basa en el dilema de la lógica clásica: si de todos los casos de una disyunción se sigue la misma conclusión podemos afirmar ésta sin miedo a equivocamos.
INTRODUCCIÓN DEL DISYUNTOR (ID) O ADICIÓN (AD.):
A . A V B B . A V B
Se basa en que si tenemos una fórmula verdadera su valor de verdad no cambia al añadirle cualquier otra fórmula por medio de un disyuntor (recordemos la definición del disyuntor que dimos antes).
ELIMINACIÓN DEL DOBLE NEGADOR (EDN):
¬¬ A A
Se basa en la intuición de que negar dos veces una cosa es lo mismo que afirmarla (recordemos la definición del negador).
INTRODUCCIÓN DEL NEGADOR (IN) O REDUCCIÓN AL ABSURDO (ABS.):
A . . B Λ ¬B ¬A
Se basa en la intuición de que toda proposición que da lugar a una contradicción es inadmisible, por lo que debe ser negada.
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Como puede verse, hay dos tipos de deducción:
La deducción directa: cuando la conclusión se deduce directamente de las premisas.
La deducción indirecta (Cas., Abs., TD): cuando es necesario suponer premisas adicionales provisionalmente para obtener la conclusión. Todo supuesto provisional se señala con un ángulo recto (┌) antes del número, que se unirá con una línea recta a otro ángulo (└) correspondiente a la línea que los cancela. Los enunciados que haya en el interior de un supuesto provisional no podrán utilizarse fuera.
El uso de las reglas básicas es, en principio, suficiente para resolver todo problema deductivo que tenga solución en Lógica proposicional. Su empleo debe atenerse a la siguiente estrategia:
1. Asegurarse de la correcta formalización del argumento si éste ha sido traducido del lenguaje ordinario.
2. Una vez dispuestas en columna y ordenadas las premisas se intentará extraer de las mismas por sucesivas aplicaciones de las reglas la conclusión o las fórmulas que puedan acercamos a ella.
3. Eventualmente, cabe el recurso a supuestos provisionales de tipo directo. Si la conclusión o la fórmula intermedia que necesitamos es una implicación, hemos de suponer su antecedente, llegar a su consecuente y usar el teorema de deducción. Si necesitamos usar una premisa o una fórmula intermedia que tenga la forma de una disyunción, es preciso suponer sus miembros y usar la prueba por casos.
4. Si fallan estos intentos, se puede recurrir a la deducción indirecta, suponiendo la negación de la conclusión y aplicando la reducción al absurdo.
El cálculo proposicional se facilita y abrevia si se añaden a las reglas básicas de Gentzen otras nuevas fundadas en ellas, que reciben, por tanto, el nombre de reglas derivadas. Estas reglas expresan leyes lógicas que podemos demostrar tanto semánticamente (con tablas de verdad), como sintácticamente (por deducción y usando las reglas básicas). Las más útiles son éstas:
LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO (SIL.):
A → B B → C A → C
LEY DE IDENTIDAD (ID.):
A . A
LEY DE CONTRAPOSICIÓN (CP.):
A → B ¬B →¬AA
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«MODUS TOLLENS» (MT):
A → B ¬ B . ¬ AA
INTRODUCCIÓN DE DOBLE NEGADOR (IDN):
A . ¬¬A
PRINCIPIO DE NO CONTRADICCIÓN (PNC):
¬(A Λ ¬A)
PRINCIPIO DE TERCIO EXCLUSO (PTE):
A V ¬A
SILOGISMO DISYUNTIVO (SD):
A V B ¬ A . BA A V B ¬ B . AA
«EX CONTRADICTIONE QUODLIBET» (ECQ):
A Λ ¬A BA
LEYES DE MORGAN (DM1 Y DM2):
¬(A Λ B) .
¬A V ¬BA
¬(A V B) .
¬A Λ¬BA
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1. Introducción
1.1. LEGUAJE NATURAL, LEGUAJE ARTIFICIAL Y LENGUAJE FORMAL
Los lenguajes naturales, es decir, las distintas lenguas que habitualmente utilizan los miembros de distintas comunidades humanas para comunicarse, poseen, como todo lenguaje, un conjunto de símbolos (léxico) y una serie de reglas para manejarlos (sintaxis) y operar con ellos (formación, concatenación y transformación de oraciones). Todos los lenguajes naturales son el producto de muchos siglos de evolución y son tan infinitamente ricos en matices que los mismos símbolos o expresiones pueden significar cosas diferentes en función factores tales como el contexto, la entonación, la situación, etc. Estas ambigüedades, dobles sentidos, vaguedades, relajación en el uso de las reglas… nos permiten construir paradojas, chistes, metáforas, poemas, etc.
Los lenguajes naturales poseen, sin duda, una gran riqueza y capacidad expresiva que resulta deseable, pero en determinados momentos es preferible un lenguaje menos ambiguo y, por tanto, más preciso y operativo. Para el uso científico, por ejemplo, los lenguajes naturales presentan ciertas deficiencias: desde el punto de vista del léxico, falta de univocidad; desde el punto de vista de la sintaxis, relajación en las reglas; y desde el punto de vista operacional, dificultad para realizar cualquier cálculo. Por este motivo, las distintas ciencias construyen lenguajes artificiales, asignando a sus símbolos significados precisos y unívocos, y estableciendo con precisión reglas operativas eficaces que permitan construir razonamientos fiables. Se trata de ganar en exactitud y seguridad a costa de perder en expresividad. La Física y la Química, por ejemplo, usan este tipo de lenguaje de forma que una expresión tan metafórica como «el tiempo es oro», al traducirla a tal lenguaje –«t = Au»– pierde todo su sentido. Por eso, tales lenguajes sólo se emplean en campos muy restringidos.
Incluso puede haber ocasiones en las que el significado de los símbolos no nos interese, sino más bien las relaciones que podamos establecer entre dichos símbolos, como por ejemplo ocurre en las Matemáticas y la Lógica. Decimos entonces que estamos ante un lenguaje formal, porque sólo interesa la forma, no el contenido o significado empírico de sus símbolos. Lo único que cuenta es que la utilización de los símbolos, las fórmulas y las operaciones se ajuste a las reglas establecidas.
1.2. LAS PROPOSICIONES Y LA LÓGICA PROPOSICIONAL
Todos los lenguajes están construidos a partir de combinaciones de signos que reciben el nombre de expresiones. Pero no cualquier combinación es válida, sino que dicha combinación debe realizarse de acuerdo con una serie de reglas gramaticales (morfológicas, sintácticas, etc.). Cuando una expresión del lenguaje natural es gramaticalmente correcta y tiene un sentido completo recibe el nombre de oración. Hay muchos tipos de oraciones en los lenguajes naturales: enunciativas, desiderativas, de
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posibilidad, dubitativas, exhortativas, interrogativas, exclamativas, etc. Aquí nos interesan las oraciones enunciativas, también llamadas enunciados o proposiciones, que son aquellas oraciones que afirman o niegan algo y que, por tanto, pueden ser verdaderas o falsas. La Lógica proposicional (denominada también Lógica de enunciados) se ocupa de las proposiciones.
Tanto lógica como gramaticalmente, las oraciones pueden ser sometidas a análisis. Tomemos, por ejemplo, la proposición «Las moscas son insectos». Gramaticalmente podemos analizar esta oración comenzando por distinguir un sujeto y un predicado. Lógicamente podemos analizarla señalando que en ella se establece una relación entre dos clases o conjuntos, en cuyo caso la interpretaremos como afirmación de que los miembros de la clase de las moscas son también miembros de la clase de los insectos: así se hace en la Lógica de clases. Pero en la Lógica proposicional las proposiciones no se analizan, sino que se toman como un todo, en bloque. Las proposiciones son los elementos últimos sobre los cuales opera esta rama de la Lógica.
Las proposiciones «Las moscas son insectos» y «La Tierra es un planeta» son proposiciones simples. En cambio, «Las moscas son insectos y la Tierra es un planeta» y «Si las moscas son insectos, entonces la Tierra es un planeta» son proposiciones complejas.
Una proposición simple es aquella que no puede descomponerse en partes que, a su vez, sean proposiciones. Las proposiciones simples se denominan también atómicas.
Una proposición compleja –también denominada molecular– es aquella que puede descomponerse en proposiciones simples. Las proposiciones complejas se componen, pues, a partir de proposiciones simples por medio de partículas como «y», «si… entonces…», etc., que sirven para conectar o unir proposiciones entre sí.
1.3. EL RAZONAMIENTO. VERDAD Y VALIDEZ
Un razonamiento es una serie de enunciados en la cual, a partir de unos enunciados iniciales (premisas) y siguiendo unas reglas determinadas, se infiere una conclusión. Se dice que el razonamiento es válido si la conclusión se deduce necesariamente de las premisas. En ese caso, si las premisas son verdaderas, entonces la conclusión también será necesariamente verdadera. Un razonamiento, por tanto, es o no válido en virtud de su forma o estructura, no en virtud de la verdad o falsedad de las premisas. Los enunciados pueden ser verdaderos o falsos, pero los razonamientos sólo pueden ser válidos o no válidos, correctos o incorrectos.
Sin embargo, podríamos decir que en el éxito de un razonamiento influyen dos factores: la verdad de las premisas y la corrección o validez en la aplicación de las reglas usadas para inferir la conclusión.
RAZONAMIENTO VÁLIDO
CON PREMISAS VERDADERAS
RAZONAMIENTO NO VÁLIDO
CON PREMISAS VERDADERAS
RAZONAMIENTO VÁLIDO
CON PREMISAS FALSAS
P1: Todos los perros son mamíferos.
P2: Todos los caniches son perros.
C: Todos los caniches son mamíferos.
P1: Todos los primates son mamíferos.
P2: Todos los gatos son mamíferos.
C: Todos los gatos son primates.
P1: Todos los perros son reptiles.
P2: Todos los gatos son perros.
C: Todos los gatos son reptiles.
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La Lógica sólo se ocupa de la validez de los razonamientos deductivos, pero no de la verdad o falsedad de sus enunciados. Por ello decimos que la Lógica es una ciencia formal.
1.4. TIPOS DE LÓGICA
Hemos dicho que una proposición o enunciado es una oración (expresión con sentido completo y gramaticalmente correcta) que afirma o niega algo, es decir, que puede ser verdadera o falsa. Sólo son enunciados aquellas expresiones que poseen ambas propiedades:
SON PROPOSICIONES
NO SON PROPOSICIONES
(Ni V ni F)
NO SON PROPOSICIONES
(Sin significado)
Colón descubrió América. (V)
Un mes tiene 237 días. (F)
Pedro tiene hambre. (¿?)
¡Ojalá llueva!
¿Qué hora es?
Cierra la puerta.
¡Hora ojalá!
Pedro y llueva.
237 un tiene día.
La verdad o falsedad de las proposiciones atómicas depende de su correspondencia con la realidad, es decir, depende de la experiencia. La verdad o falsedad de las proposiciones moleculares depende tanto del valor veritativo de sus proposiciones atómicas como del tipo de relación que las une. Por ejemplo, la verdad de la proposición «Voy al cine» sólo depende de si voy efectivamente al cine o no, y la verdad de la proposición «Me llama mi novia» depende de si mi novia me llama realmente o no. Pero si digo «Si me llama mi novia entonces voy al cine», o digo «O me llama mi novia o voy al cine», ambas proposiciones pueden ser verdaderas aunque no vaya al cine o no me llame realmente mi novia, porque la relación que une ambas proposiciones atómicas no exige que ambas sean verdaderas a la vez. Sólo la proposición «Me llama mi novia y voy al cine» exige, para ser verdadera, que las proposiciones atómicas que la componen sean verdaderas.
Las distintas partes de la Lógica dependen del tipo de análisis que hacen de las proposiciones, de forma que tenemos:
LÓGICA PROPOSICIONAL O DE ENUNCIADOS: Como ya sabemos, toma las proposiciones como un bloque, sin descomponerlas en sujeto y predicado, teniendo como elementos más simples las proposiciones atómicas, y ocupándose de las relaciones que se pueden establecer entre ellas.
LÓGICA DE PREDICADOS: A veces no es suficiente tomar las proposiciones como un bloque y hay que descomponerlas en sujeto y predicado. Esto hace esta parte de la lógica, que trata los predicados desde el punto de vista intensional, es decir, como atribución de una propiedad a un sujeto.
LÓGICA DE CLASES: Adopta el punto de vista de la extensión (conjunto de individuos a los que el predicado se aplica), interpretando los enunciados como operaciones con clases de conjuntos.
LÓGICA DE RELACIONES: Estudia aquellos predicados que no se atribuyen a un individuo absolutamente sino en comparación con otro.
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2. Los elementos de la Lógica proposicional
Todo lenguaje consta de una serie de símbolos, un conjunto de reglas de formación que determinan cómo pueden combinarse estos símbolos para construir expresiones gramaticalmente bien formadas y, por último, un conjunto de reglas de transformación, que indican cómo podemos pasar correctamente de unas expresiones bien formadas a otras. En un juego como el ajedrez, por ejemplo, los símbolos serían las 32 piezas y el tablero (un tenedor no es una pieza de ajedrez sino de cubertería); las reglas de formación determinarían el lugar que debe ocupar cada pieza en el tablero (un alfil colocado en la estantería no cumple las reglas de formación); por último, las reglas de transformación indicarían los movimientos que cada pieza puede realizar (un caballo arrojado a la pared o movido en diagonal no cumple dichas reglas). También en el lenguaje natural tenemos un conjunto de símbolos (palabras, letras, signos de puntuación, etc.), una serie de reglas de formación que permiten construir expresiones con sentido u oraciones, y unas reglas de transformación que permiten pasar de unas expresiones a otras (sabemos, por ejemplo, que la proposición «El gato se comió al ratón» puede sustituirse por «El ratón fue comido por el gato»).
Los elementos del cálculo proposicional son los siguientes:
− SÍMBOLOS:
Variables proposicionales o letras enunciativas: Para simbolizar las proposiciones atómicas se recurre a las letras minúsculas del alfabeto a partir de la m o de la p: m, n, o, p, q, r, s, etc. Cada letra simboliza una proposición atómica cualquiera. Cuando se hace un uso metalingüístico (por ejemplo, al expresar las reglas lógicas) se usan las primeras letras del abecedario en mayúsculas: A, B, C, etc.
Constantes lógicas, operadores o conectores: Son símbolos que denotan relaciones y operaciones lógicas. Sirven para establecer conexiones entre los enunciados, por lo que se denominan conectores o conectivas. En las lenguas naturales esta función conectiva es desempeñada por las conjunciones. Puesto que el tipo de relación que cada partícula conectiva establece es fijo, los símbolos correspondientes son denominados constantes lógicas. Las constantes lógicas más usuales en la Lógica proposicional son las siguientes:
El negador (¬): Es la única constante que se aplica a un solo enunciado cambiándole su valor veritativo, y equivale a la negación del lenguaje natural. Así, si A es verdadera, ¬A es falsa, y viceversa. Se lee: no, no es el caso que.
El conjuntor (Λ): Corresponde a la conjunción «y» del lenguaje natural y lo que hace es dar lugar a una proposición molecular que es verdadera solamente cuando son verdaderas las proposiciones atómicas que la componen.
El disyuntor (V): Corresponde a la conjunción «o» del lenguaje natural y lo que hace es dar lugar a una proposición molecular que es verdadera cuando una de las proposiciones atómicas que la componen o ambas son verdaderas.
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El implicador o condicional (→): Corresponde a la expresión «si... entonces» del lenguaje natural y lo que hace es afirmar que si el primero de los enunciados (antecedente) es verdadero, el segundo (consecuente) necesariamente también lo es (es decir, lo que no puede darse es el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso). La fórmula a que da lugar será verdadera siempre que no ocurra que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso.
El coimplicador o bicondicional (↔): Corresponde a la expresión «si, y sólo si... entonces» del lenguaje natural y lo que hace es afirmar que si el primero de los enunciados es verdadero, el segundo también lo es, y que si el primero de los enunciados es falso, el segundo también lo es. La fórmula a que da lugar sólo será verdadera siempre que las proposiciones que la componen tengan el mismo valor de verdad (ambas verdaderas, ambas falsas).
Símbolos auxiliares: Paréntesis, corchetes, llaves, etc., para determinar el alcance de los conectores. Si no hay paréntesis, hay una jerarquía para determinar el signo dominante (1º↔, 2º →, 3º Λ ó V). Ejemplo: p → r V q es lo mismo que p → (r V q).
− REGLAS DE FORMACIÓN:
Son todas las reglas que establecen cómo deben combinarse correctamente los símbolos de este lenguaje formal. A toda expresión formada correctamente según estas reglas se le llama fórmula. Las reglas de formación del cálculo proposicional son las siguientes:
Una letra enunciativa es una fórmula bien formada. Ejemplo: p, q, r, s, t, etc.
Si ‘A’ es una fórmula, ‘¬A’ también lo es. Ejemplo: ¬p, ¬q, ¬r, etc.
Si ‘A’ y ‘B’ son fórmulas, entonces ‘A V B’, ‘A Λ B’, ‘A → B’ y ‘A ↔B’ también lo son. Ejemplo: p Λ q, ¬p V ¬q, ¬p→ (r Λ s), (¬p → q) ↔ (p V q), etc.
No hay más fórmulas bien formadas si no son según las reglas anteriores.
− REGLAS DE TRANSFORMACIÓN:
Llamadas también reglas de inferencia porque son las que determinan la forma en que podemos pasar correctamente de unas fórmulas bien formadas a otras equivalentes, para así poder construir razonamientos válidos. Son, por lo tanto, necesarias para poder realizar deducciones lógicas. Por el momento dejaremos estas reglas que ya trataremos en la parte dedicada a la deducción.
3. Semántica de la Lógica proposicional
3.1. FORMALIZACIÓN O SIMBOLIZACIÓN
La formalización de un lenguaje es una operación consistente en traducir las expresiones de ese lenguaje por símbolos, en nuestro caso por símbolos del cálculo
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proposicional, de manera que los enunciados del lenguaje natural se transformen en fórmulas con las que resulte más fácil operar para comprobar la validez de los razonamientos. Puesto que ya conocemos los símbolos de la Lógica proposicional, veamos a continuación su correspondencia con el lenguaje natural.
Las variables proposicionales (m, n, p, q, r, s, t,…) se usan para simbolizar las proposiciones simples del lenguaje natural. Ejemplos:
Pedro es un buen estudiante = p
Llueve = q
Debajo de la bóveda se ve un retablo con un lienzo ennegrecido = r
El negador (¬) se usa para simbolizar expresiones del lenguaje natural tales como “no”, “no es el caso que”, “es falso que”, “no es posible que“, “es imposible que”,… Cuando afecta a una proposición simple se pone simplemente delante de ella, pero cuando afecta a una proposición compleja, ésta debe ir entre paréntesis y el negador delante del mismo. Además, existen ocasiones en las que un negador puede afectar a otro negador. Ejemplos:
Pedro no es un buen estudiante = ¬ p
No es verdad que estudie todos los días = ¬ q
Es imposible que mañana no vaya a clase = ¬¬ r
Es falso que si el alumno se copia sea imposible que apruebe = ¬ (s → ¬t)
El conjuntor (Λ) se usa para simbolizar la conjunción “y” del lenguaje natural y lo que hace es afirmar que los dos enunciados que conecta son verdaderos. Por eso, hay además otras conjunciones del lenguaje natural (“pero”, “aunque”, “también”, “además”, “ni”, etc.) que poseen su mismo valor lógico, por lo que también pueden sustituirse por el mismo símbolo. Ejemplos:
Juan camina y Pedro descansa = p Λ q
Los tejados son de pizarra y las puertas de madera = r Λ s
Me van bien los estudios pero no apruebo = t Λ ¬ u
Aunque me rechaces, te querré siempre y no te olvidaré = m Λ (n Λ ¬ p)
No es cierto que me vaya a marchar y no quiera verte ni acordarme de ti = ¬ [q Λ (¬ r Λ ¬ s)]
El disyuntor (V) se usa para simbolizar la conjunción “o” del lenguaje natural (y otras equivalentes como “bien”, “sea… sea”, “ya… ya”, etc.) y lo que hace es afirmar que al menos uno de los dos enunciados que conecta es verdadero. Ejemplos:
Se solicita abogado o contable = p V q
Me entero de la situación política leyendo “El País” o “La Vanguardia” = p V q
Hay que demostrar la proposición bien por el método directo bien por el indirecto = p V q
No es cierto que vaya a salir el jueves o el viernes = ¬ (p V q)
Ya sea porque no tuvieron suerte, ya sea por falta de ambición, perdieron el partido = (¬ p V ¬ q) Λ r
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Normalmente la disyunción tiene un sentido inclusivo (al menos uno de los dos enunciados que conecta es verdadero, pero pueden serlo los dos), pero en algunas ocasiones se emplea la disyunción exclusiva, que significa que sólo uno de los dos enunciados es verdadero (o uno o el otro, pero no ambos). Para expresar este tipo de relación entre las proposiciones se puede usar el coimplicador negado.
El implicador (→) se usa para simbolizar la expresión “si… entonces” del lenguaje natural (y otras equivalentes como “por lo tanto”, “en consecuencia”, “luego”, etc.) y lo que hace es afirmar que en el caso de que el primero de los enunciados (antecedente) sea verdadero, el segundo (consecuente) necesariamente también lo será (no puede darse el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso). Al formalizar los enunciados es necesario descubrir la relación lógica que existe entre ellos y no fiarse siempre de las apariencias. Por ejemplo, la proposición «Estudia y aprobarás» es equivalente a «Si estudias entonces aprobarás» por lo que hay que formalizarla con el implicador, no con el conjuntor. Además no tiene por qué haber una conexión real entre ambas proposiciones, sólo que se cumpla esta relación lógica. Ejemplos:
Si Colón descubrió América entonces los gusanos son invertebrados = p → q
Cuando hay abundancia, nadie muere de hambre = p → ¬q
Con tal de que me digas las preguntas me prepararé las respuestas y no suspenderé = p → (q Λ ¬ r)
Eres licenciado de modo que es imposible que no sepas leer ni escribir = p → ¬ (¬ r Λ ¬ q)
El coimplicador (↔) corresponde a la expresión “si y sólo si… entonces” del lenguaje natural (y a otras equivalentes como “... es igual a...”, “… es lo mismo que...”, “... equivale a...”, etc.) y lo que hace es afirmar que ambos enunciados tienen el mismo valor veritativo: si el primero es verdadero, el segundo también lo es, y si es falso, también lo es el segundo. Ejemplos:
Sólo estudiaré si tú lo haces también = p ↔ q
Sólo si no has tenido una experiencia traumática puedes ser feliz = ¬ p ↔ q
Si no es verdad lo que dices, entonces únicamente en el caso de que te retractes te volveré a dirigir la palabra = ¬ p → (q ↔ r)
Proposiciones simples lingüísticamente diferentes pero que vengan a expresar lo mismo han de ser formalizadas mediante la misma variable proposicional.
Es importante identificar todas las negaciones que puedan aparecer en el texto a formalizar y utilizar convenientemente el negador. Conviene tener presente que las negaciones no siempre aparecen al comienzo de un enunciado sino intercaladas en el mismo (p.e., «Hoy no hace calor» = ¬ p). También conviene tener presente que determinadas ocurrencias de la doble negación en español expresan en realidad una simple negación (p.e., «No quiero ni pensar en ello» = ¬ p). Por último, es importante identificar cuándo un enunciado en forma afirmativa expresa en realidad la negación de otro enunciado que aparece en el mismo texto a formalizar (p.e., «Si Juan aprueba el examen, se irá a las Bahamas; pero si suspende, se quedará en casa deprimido» = (p → q) Λ (¬ p → r)).
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3.2. LAS TABLAS DE VERDAD
Una vez que hemos formalizado una proposición resulta mucho más fácil operar con ella. Lo primero que podemos hacer con ella es averiguar en qué casos es verdadera y en qué casos no. La Semántica es aquella parte del lenguaje que se ocupa de la relación entre los símbolos y su significado, pero ya dijimos que a la Lógica no le interesa el significado empírico de las proposiciones; lo único que le interesa de su significado es su valor veritativo: su verdad o falsedad. Como la verdad de las proposiciones complejas depende del valor veritativo de sus proposiciones simples (variables) y del tipo de relación que las une (constantes o conectores), la Lógica usa un método para demostrar semánticamente una fórmula cualquiera: el método de las tablas de verdad. Este método consiste en calcular en qué casos una proposición compleja es verdadera y en qué casos es falsa.
Interpretar un símbolo consiste en darle un significado. La Lógica proposicional, como la mayoría de los tipos de lógica, es una lógica bivalente, lo cual quiere decir que cada proposición simple o variable sólo puede tener dos interpretaciones o significados: verdadero (1) o falso (0). Un caso es una posible combinación de tales valores en sus variables, de forma que mientras más variables tenga una fórmula más casos posibles habrá.
Así, en una fórmula que contenga una única variable (p.e., p → p) sólo hay dos casos posibles: que “p” sea verdadera o que sea falsa, mientras que en una que contenga dos variables (p.e., p→q) hay cuatro casos posibles: 1) que ambas sean verdaderas; 2) que ambas sean falsas; 3) que “p” sea verdadera y “q” falsa; y 4) que “p” sea falsa y “q” verdadera. En una fórmula de tres variables hay ocho posibles casos; en una de cuatro, dieciséis, y así, sucesivamente. Hay una fórmula para hallar el número de casos (x) de una proposición molecular: x = 2n, donde n es el número de variables de la fórmula.
Cada uno de los conectores o constantes lógicas se define semánticamente mediante una tabla de verdad que muestra sus posibles valores veritativos según los casos. Estas son las tablas de verdad de los conectores y del negador:
Aplicando este método de las tablas de verdad podemos comprobar que existen tres tipos de fórmulas en función de su resultado:
CONSISTENCIA: Se denomina fórmula consistente o indeterminada cuando su tabla de verdad presenta una combinación de valores de verdad (1) y de falsedad (0). Esto significa que su valor veritativo depende de cada uno de los posibles casos, por lo que depende de la experiencia, ya que en unos casos puede ser verdadera y en otros casos falsa.
CONTRADICCIÓN: Una fórmula es una contradicción cuando en todos los casos su valor veritativo es “0”, es decir, es siempre falsa, independientemente de los valores de verdad de las variables que la constituyen, por lo que es universalmente falsa.
TAUTOLOGÍA: Una fórmula es tautológica cuando su valor veritativo es siempre “1”, es decir, cuando es verdadera en todos los casos. Estas fórmulas son verdaderas a priori, es decir, independientemente de la experiencia, universalmente válidas. Las fórmulas tautológicas son verdades lógicas, no empíricas. Éstas son las que más interesan a la
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Lógica pues, gracias a ellas, podemos averiguar si una conclusión se deriva o no a partir de unas determinadas premisas. Basta, para ello, con construir una fórmula uniendo las premisas mediante conjuntores y conectándolas a la conclusión por medio de un implicador. A continuación hacemos la tabla de verdad correspondiente y si el resultado es una tautología eso significa que queda demostrada semánticamente la validez del razonamiento. Todas las leyes lógicas que veremos a continuación pueden demostrarse por este sistema.
4. Sintaxis de la Lógica proposicional: la deducción formal
Existe otro método más operativo para demostrar la validez de un razonamiento: la deducción formal. Consiste en un procedimiento de derivación para probar la validez de una conclusión, partiendo de premisas iniciales y deduciendo nuevas premisas intermedias mediante reglas de inferencia, cuyo uso se justifica. El procedimiento demostrativo en conjunto tiene cierta semejanza con la manera «natural» de deducir. Esas reglas de inferencia son verdades lógicas, es decir, que si se presentan como fórmula condicional y se realizan sus respectivas tablas de verdad, se comprobará que son tautologías.
En una deducción encontraremos unos supuestos y unas reglas de inferencia. Los supuestos pueden ser premisas (supuestos previos) o bien supuestos provisionales o subsidiarios, que sirven momentáneamente de apoyo en el curso de la deducción pero de los cuales hay que desembarazarse antes del final de la misma (llamándose esto descarga o cancelación de supuestos).
La deducción formal es una secuencia finita de fórmulas tales que cada una de ellas es un supuesto previo, un supuesto provisional o una fórmula que se deriva lógicamente de otra u otras anteriores por inferencia inmediata (por la aplicación de una sola regla de inferencia).
La notación simbólica de una derivación es la siguiente: la deducción se indica o anota poniendo en hilera las premisas separadas por comas y a continuación de las mismas el deductor ├ seguido de la conclusión: p → ¬ q Λ r, p → s, s Λ r → ¬ ¬ m, ¬ ¬ p ├ m.
La deducción se realiza así: se colocan en columna las premisas y las fórmulas inferidas de la siguiente manera:
Se numeran en la izquierda a partir del número 1.
Las premisas llevan un guión a la izquierda del número.
Los supuestos provisionales se señalan con un ángulo recto (┌) antes del número, que se unirá con una línea recta a otro ángulo (└) correspondiente a la línea que los cancela.
Se pone a la derecha un comentario: las siglas de la regla por la que se infiere la línea y los números de las líneas a las que se ha aplicado la regla.
Veamos a continuación las llamadas reglas básicas de inferencia. Gentzen seleccionó estas ocho porque sirven para introducir o eliminar cada uno de los cuatro conectores básicos, y porque con ellas se podrían efectuar todas las transformaciones de fórmulas posibles en el cálculo proposicional.
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ELIMINACIÓN DEL IMPLICADOR (EI) O «MODUS PONENS» (MP):
A → B A . B
Se usan letras mayúsculas para indicar que dichas letras pueden ser sustituidas por cualquier fórmula. Se ponen las premisas de la regla en columnas seguidas de una línea horizontal, bajo la cual se escribe la conclusión. Esto quiere decir que si en el curso de la deducción se dan fórmulas en la forma de las premisas de la regla entonces puede escribirse una línea con la fórmula de la conclusión.
INTRODUCCIÓN DEL IMPLICADOR (II) O TEOREMA DE LA DEDUCCIÓN (TD):
A . . B . A → B
Se basa en que si de una premisa ‘A’ y cualquier conjunto de fórmulas, que puede ser vacío, podemos deducir una conclusión ‘B’ entonces podemos decir que la premisa implica la conclusión.
ELIMINACIÓN DEL CONJUNTOR (EC) O SIMPLIFICACIÓN (SIMPL.):
A Λ B A A Λ B B
Se basa en la idea de que si una conjunción de proposiciones es verdadera también lo son cada uno de sus miembros.
INTRODUCCIÓN DEL CONJUNTOR (IC) O PRODUCTO LÓGICO (PROD.):
A B . A Λ B
Se basa en la intuición de que si podemos afirmar dos verdades por separado también podemos afirmar la verdad de su unión.
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ELIMINACIÓN DEL DISYUNTOR (ED) O PRUEBA POR CASOS (CAS.):
A V B A . . C B . . C . C
Se basa en el dilema de la lógica clásica: si de todos los casos de una disyunción se sigue la misma conclusión podemos afirmar ésta sin miedo a equivocamos.
INTRODUCCIÓN DEL DISYUNTOR (ID) O ADICIÓN (AD.):
A . A V B B . A V B
Se basa en que si tenemos una fórmula verdadera su valor de verdad no cambia al añadirle cualquier otra fórmula por medio de un disyuntor (recordemos la definición del disyuntor que dimos antes).
ELIMINACIÓN DEL DOBLE NEGADOR (EDN):
¬¬ A A
Se basa en la intuición de que negar dos veces una cosa es lo mismo que afirmarla (recordemos la definición del negador).
INTRODUCCIÓN DEL NEGADOR (IN) O REDUCCIÓN AL ABSURDO (ABS.):
A . . B Λ ¬B ¬A
Se basa en la intuición de que toda proposición que da lugar a una contradicción es inadmisible, por lo que debe ser negada.
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Como puede verse, hay dos tipos de deducción:
La deducción directa: cuando la conclusión se deduce directamente de las premisas.
La deducción indirecta (Cas., Abs., TD): cuando es necesario suponer premisas adicionales provisionalmente para obtener la conclusión. Todo supuesto provisional se señala con un ángulo recto (┌) antes del número, que se unirá con una línea recta a otro ángulo (└) correspondiente a la línea que los cancela. Los enunciados que haya en el interior de un supuesto provisional no podrán utilizarse fuera.
El uso de las reglas básicas es, en principio, suficiente para resolver todo problema deductivo que tenga solución en Lógica proposicional. Su empleo debe atenerse a la siguiente estrategia:
1. Asegurarse de la correcta formalización del argumento si éste ha sido traducido del lenguaje ordinario.
2. Una vez dispuestas en columna y ordenadas las premisas se intentará extraer de las mismas por sucesivas aplicaciones de las reglas la conclusión o las fórmulas que puedan acercamos a ella.
3. Eventualmente, cabe el recurso a supuestos provisionales de tipo directo. Si la conclusión o la fórmula intermedia que necesitamos es una implicación, hemos de suponer su antecedente, llegar a su consecuente y usar el teorema de deducción. Si necesitamos usar una premisa o una fórmula intermedia que tenga la forma de una disyunción, es preciso suponer sus miembros y usar la prueba por casos.
4. Si fallan estos intentos, se puede recurrir a la deducción indirecta, suponiendo la negación de la conclusión y aplicando la reducción al absurdo.
El cálculo proposicional se facilita y abrevia si se añaden a las reglas básicas de Gentzen otras nuevas fundadas en ellas, que reciben, por tanto, el nombre de reglas derivadas. Estas reglas expresan leyes lógicas que podemos demostrar tanto semánticamente (con tablas de verdad), como sintácticamente (por deducción y usando las reglas básicas). Las más útiles son éstas:
LEY DEL SILOGISMO HIPOTÉTICO (SIL.):
A → B B → C A → C
LEY DE IDENTIDAD (ID.):
A . A
LEY DE CONTRAPOSICIÓN (CP.):
A → B ¬B →¬AA
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«MODUS TOLLENS» (MT):
A → B ¬ B . ¬ AA
INTRODUCCIÓN DE DOBLE NEGADOR (IDN):
A . ¬¬A
PRINCIPIO DE NO CONTRADICCIÓN (PNC):
¬(A Λ ¬A)
PRINCIPIO DE TERCIO EXCLUSO (PTE):
A V ¬A
SILOGISMO DISYUNTIVO (SD):
A V B ¬ A . BA A V B ¬ B . AA
«EX CONTRADICTIONE QUODLIBET» (ECQ):
A Λ ¬A BA
LEYES DE MORGAN (DM1 Y DM2):
¬(A Λ B) .
¬A V ¬BA
¬(A V B) .
¬A Λ¬BA
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